محال بودن دانستن مجموعه تمام حقایق

**jafar007** · 01-19-2013, 01:09

ایده این برهان نخستین بار توسط پاتریک گریم در نوشتار زیر مطرح شده است.
Patrick Grim, "There Is No Set of All Truths," Analysis,44,1984,pp.206-208

**jafar007** · 01-19-2013, 01:11

پیشگفتار
این استدلال یکی از استدلالهای منطقی علیه وجود خدا هست که توسط پاتریک گریم برای نخستین بار ارائه شده است و به استدلال گریم در کتب فلسفه دین شهرت یافته است، روش کار اینگونه برهان ها وجود تناقض میان دو ویژگی از ویژگی ها در تعریف فلسفی وجود خدا و با استناد به اصل تناقض نشان داده میشود که خداوند نمیتواند وجود داشته باشد. برخی از برهانهای منطقی اثبات عدم وجود خدا همچون همین برهان تناقض را میان دو ویژگی نشان نمیدهند بلکه نشان میدهند یکی از ویژگیهای خدا از لحاظ منطقی متناقض است و وجود داشتن موجودی با این ویژگیها محال است.
این برهان نیز نشان میدهد به دلیل اینکه دانستن تمامی حقایق از لحاظ منطقی محال است، هیچکس نمیتواند این حقایق را بداند، در نتیجه موجود علیمی نمیتواند وجود داشته باشد، پس خدا وجود ندارد.
درک این برهان به دانشی ابتدائی از تئوری مجموعه ها دارد، باقی مطالب در ارتباط با مجموعه ها که در این برهان از آنها استفاده میشود در هنگام بحث برهان بطور مختصر توضیح داده خواهند شد.

**jafar007** · 01-19-2013, 01:12

<b> فرمولاسیون
1- خداوند یک موجود علیم است. بنابر تعریف خدا.
2- یک موجود علیم باید تمامی اجزاء مجموعه تمام حقایق هستی را بداند. بنابر تعریف خدا و تعریف مجموعه حقایق هستی.
3- دانستن تمامی اجزاء مجموعه تمام حقایق هستی محال است. بنابر قضیه کانتور.
4- یک وجود علیم نمیتواند وجود داشته باشد. نتیجه از 3.
5- خدا نمیتواند وجود داشته باشد. نتیجه از 4 و 1.
6- خدا وجود ندارد. نتیجه از 5.
</b>

**jafar007** · 01-19-2013, 01:12

<b>
تعریف مجموعه
یک مجموعه از اجتماع نهاد های قابل تمایز از یکدیگر پدید می آید. مثلاً A را در نظر بگیرید که اجزاء آن نام چهار گلها میباشد.
A = { "نیلوفر", "مریم", رز"", یاسمن"}

مجموعه بینهایت
یک مجموعه میتواند دارای نهایت یا بی نهایت باشد. بعنوان مثال مجموعه اعداد فرد یک مجموعه بی نهایت است.

O = {...,-3,-1,1,3,...}

بنابر تعریف جورج کانتور (1)، مجموعه ای مجموعه بی نهایت است که
الف - مجموعه ای تهی نباشد.

ب- رابطه ای یک به یک میان آن مجموعه و زیر مجموعه های مناسب آن وجود داشته باشد.
مجموعه مناسب
تعریف مجموعه مناسب (Proper Subset) - یک مجموعه مانند S2 تنها درصورتی زیر مجموعه مناسب مجموعه دیگری مانند S1 است. که هر عضو S2 در S1 باشد و S1 حداقل یک عضو داشته باشد که در S2 نباشد. </b>

**jafar007** · 01-19-2013, 01:12

قضيه مجموعه توانی كانتور (2)
براي هر مجموعه X، قوت مجموعه تواني X بزرگتر از قوت مجموعه X است.
قضيه كانتور به ما مي گويد هر قدر هم كه مجموعه اي بزرگ باشد، باز هم مي توانيم مجموعه اي بزرگتر از آن را در نظر بگيريم. اين در مورد مجموعه هاي متناهي بديهي است، اما اگر مجموعه تحت بررسي نامتناهي باشد، چندان بديهي نيست.
دو مجموعه (و بويژه، دو مجموعه نامتناهي) را هم اندازه يعني داراي كارديناليته يكسان گوييم هرگاه بتوانيم تناظر يك به يكي ميان اعضاي دو مجموعه برقرار سازيم و در هيچ طرف هيچ عضوي باقي نماند. اگر بتوانيم نشان دهيم كه ميان دو مجموعه نامتناهي، هرگز نمي توان چنين “تناظر يك به يكي” برقرار ساخت، آن گاه مي دانيم يكي از مجموعه ها بايد به طور كاردينالي بزرگتر از مجموعه ديگر باشد.
كانتور براي اثبات اين قضيه از “برهان قطري سازي” خود كه اكنون مشهور است، استفاده كرد كه اثبات از طريق برهان خلف است. يعني فرض مي كنيم بزرگترين مجموعه نامتناهي وجود دارد و سپس نشان مي دهيم كه بايد يك مجموعه بازهم بزرگتر باشد. بنابراين، فرض كنيد X مجموعه اي نامتناهي است و آن را چنين نمايش مي دهيم:

X = {a, b, c, d, e, …}

براي نشان دادن اعضاي مجموعه ها از حروف استفاده مي كنيم و فرض مي كنيم كه تعدادي نامتناهي از اين اعضا وجود دارد. به ويژه فرض مي كنيم كه X بزرگترين اندازه مجموعه اي است كه وجود دارد- يعني هيچ مجموعه ديگري نمي تواند “نامتناهي بزرگتري” باشد. اكنون يادآوري مي كنيم كه هميشه مي توانيم مجموعه تواني X را كه با P(X) مايش داده مي شود با تشكيل مجموعه تمام زيرمجموعه هاي X تشكيل دهيم.

P(X) = { {a}, {a,b}, {b,c,e,}, {a,c}, {e},…}

مشاهده مي كنيم كه P(X) خود يك مجموعه است. و در خاطر نگه مي داريم كه براساس فرض نمي تواند بزرگتر از X باشد، زيرا ما فرض كرديم كه X به بزرگترين اندازه اي است كه يك مجموعه مي تواند باشد. اما بديهي است كه نمي تواند كوچكتر از X باشد، زيرا حاوي تمام زيرمجموعه هاي تكتايي X است، يعني به ازاي هر عضو a, b, c,… در X، داراي عضوي به شكل {a}، {b}، {c} و مانند آن است. در نتيجه اندازه اين دو مجموعه بايد مساوي باشد. يعني، بايد بتوانيم تناظر يك به يكي ميان اعضاي X و اعضاي P(X) برقرار كنيم به نحوي كه در هيچ طرف عضوي باقي نماند. چنين تناظري چيزي شبيه شكل زير است.

a <--> { c,d }
b <--> { a }
X c <--> { a,b,c,d } P(X)
d <--> { b,e }
e <--> { a,c,e }
........

توجه كنيد كه برخي اعضاي X با زيرمجموعه هايي متناظر شده اند كه حاوي خود آن ها هستند. مثلاً در اين جا، عضو e با زيرمجموعه {a,c,e} متناظر شده است. ديگر اعضا با زيرمجموعه هايي متناظر شده اند كه حاوي آن ها نيستند. مثلاً در اين جا عضو a با زيرمجموعه {c,d} متناظر شده است. مجموعه تمام اعضاي X را كه با زيرمجموعه هاي حاوي خود متناظر نشده اند در نظر بگيريد. اين مجموعه كه آن را مثلاً F مي ناميم، خود زيرمجموعه اي از X است، بنابراين بايد جايي در تناظر فوق پديدار شود.
اما آن عضو X كه با F متناظر است چه مي تواند باشد؟ نمي تواند عضوي از F باشد، زيرا F بويژه به نحوي ساخته شده است كه فقط حاوي آن اعضاي X باشد كه با مجموعه هايي كه حاوي آن ها هستند متناظر نباشند. از سوي ديگر، اگر عضو X كه متناظر با F است در Fقرار نداشته باشد … آن گاه خوب بايد در F قرار داشته باشد، بازهم بنابر تعريف F!
اين يك تناقض است و وجود اين تناقض نشان مي دهد كه هيچ عضو X را نمي توان با اين زيرمجموعه متناظر كرد. تناظر ما نمي تواند كامل باشد. و چون نمي توانيم ميان X و P(X) تناظر يك به يك برقرار سازيم و چون همان طور كه ديديم، P(X) نمي تواند كوچكتر از X باشد، تنها نتيجه ممكن اين است كه P(X)بزرگتر از X است. اين قضيه كانتور را كامل مي كند.
لحظه اي تأمل مي كنيم تا معناي قضيه كانتور را دريابيم. اين قضيه نشان مي دهد كه براي هر مجموعه اي، مجموعه ديگري وجود دارد كه به معناي خاص نوع بزرگتري از نامتناهي بودن، بزرگتر است. بنابراين، “بزرگترين نامتناهي” هم نمي تواند وجود داشته باشد! بنابراين، انواع نامتناهي، “نامتناهي” هستند!

**jafar007** · 01-19-2013, 01:14

بحث
بعد از این تعاریف ابتدائی به شرح برهان خواهیم پرداخت.
یک دسته از حقایق حقایق گزاره ای یا قضیه ای هستند، که میتوان آنها را بر اساس اصل دوالانسی منطق صحیح یا غلط دانست. بعنوان مثال هرکدام از روابط ریاضی موجود بین اعداد حقیقتی هستند. یعنی 4=2+2 یک حقیقت است و همچنین 0=2-2 یک حقیقت دیگر. حال از آنجا که این حقایق قابل تمیز داده شدن از یکدیگر هستند میتوان اجتماع آنها را بصورت یک مجموعه تصور کرد.
بعنوان مثال مجموعه A را در نظر بگیرید که اعضای آن دو حقیقت یاد شده هستند.
A = { "2+2=4", "2-2=0" }
پرواضح است که به دلیل بی نهایت بودن مجموعه اعداد، بی نهایت نیز رابطه حقیقی از نوع یاد شده در میان آنها وجود دارد، یعنی میتوان مجموعه ای از حقایق ریاضی را تصور کرد که تمامی این حقایق را در خود گنجانیده است، نام این مجموعه را T بگذاریم.
T = { T1, T2, T3, …}
هرکدام از Ti های موجود در این مجموعه خود یک حقیقت هستند. از آنجا که بی نهایت عدد در مجموعه اعداد وجود دارد مجموعه T نیز بنابر تعریف داده شده از یک مجموعه بینهایت، مجموعه ای بینهایت است.
حال یکی از ویژگیهای خدا در تعریف آن علیم بودن خدا است، به این معنی که خدا بر تمامی حقایق آگاه است.
به دلیل اینکه حقایق از یکدیگر قابل تمایز هستند، اجتماع آنها را میتوان بصورت مجموعه ای از حقایق نشان داد. آشکار است که تمامی حقایق موجود در هستی باید مجموعه حقایق ریاضی را نیز در خود بگنجاند و از آنجا که آن مجموعه بینهایت است، مجموعه تمامی حقایق موجود در هستی نیز مجموعه ای بینهایت است. نتیجه منطقی آنکه خداوند به دلیل علیم بودن خود باید لزوماً مجموعه تمامی حقایق هستی را که آنرا نیز T فرض میکنیم بداند و در صورتی که حتی یکی از اعضای این مجموعه را نیز نداند علیم نیست.
مرحله بعدی در این استدلال این است که نشان دهیم دانستن مجموعه T محال است. زیرا مجموعه T بنا بر قضیه کانتور قابل تصور نیست.
به یاد داشته باشید که فرض کردیم مجموعه T تمامی حقایق هستی را در بر دارد و مجموعه ای بینهایت است. آشکار است که دانستن اعضای این مجموعه برای انسان میسر نیست زیرا شما هرچقدر هم که از اجزاء این مجموعه را بدانید باز هم اعضای دیگری خواهند بود که شما آنها را هنوز نمیدانید. اما ممکن است گفته شود که دانستن اعضای این مجموعه برای خدا محال نیست زیرا خدا خود نیز بینهایت است و میتواند این مجموعه را درک کند. البته این پاسخ، قانع کننده نیست زیرا بی نهایت بودن خدا به خودی خود به معنی این نیست که او بتواند اعضای این مجموعه را بداند.
اما استدلال ما این نیست، همانطور که گفته شد مسئله اینجا است که بنابر قضیه کانتور که از راه برهان خلف اثبات میشود که چنین مجموعه نمیتواند وجود داشته باشد. برای هر مجموعه میتوان مجموعه ای توانی را نیز تصور کرد، نام مجموعه توانی که برای T در نظر خواهیم گرفت را PT بگذاریم. حال اجزاء PT بصورت زیر خواهند بود.

PT = {
{ Ø }
{ T1 }
{ T2 }
{ T3 }
.
.
.
{ T1, T2 }
{ T1, T2, T3 }
.
.
.
}
آشکار است که متناظر با هر عضو مجموعه PT حداقل یک حقیقت وجود دارد. بعنوان مثال T1 یا عضوی از هریک از سایر اعضای PT خواهد بود یا نخواهد بود. بنابر این تنها در مورد عضو دوم حقایق زیر وجود دارد.
T1 یک عضو از مجموعه { Ø } نیست.
T1 یک عضو از مجموعه { T1 } هست.
T1 یک عضو از مجموعه { T2 } نیست.
T1 یک عضو از مجموعه { T1, T2 } هست.
بنابر این وقتی مجموعه PT را در نظر میگیریم، حداقل یک حقیقت در تناظر با هریک از اعضای این مجموعه وجود خواهد داشت. بنابر این همانگونه که قضیه کانتور نشان میدهد، مجموعه توانی "تمامی مجموعه ها" از مجموعه "تمامی مجموعه ها" بزرگ تر است. بنابر این حقایقی بیش از آنچه در T وجود داشته است وجود دارند، و این یک تناقض است چون T را مجموعه تمام حقایق هستی که هیچ حقیقتی خارج از آن وجود ندارد فرض کرده ایم، لذا با استفاده از برهان خلف نشان داده ایم که چنین مجموعه ای اساسا نمیتواند وجود داشته باشد.
نتیجه آنکه مجموعه ای با فرنام "مجموعه تمام حقایق هستی" وجود ندارد و چون این مجموعه وجود ندارد دانستن آن از دیدگاه معرفت شناسی (Epistemologically) محال است، و چون یک موجود علیم باید قطعاً تمامی حقایق هستی را بداند که بتوان علیم اش نامید، هیچ موجود علیمی نمیتواند وجود داشته باشد و چون هیچ موجود علیمی نمیتواند وجود داشته باشد خدا نیز نمیتواند وجود داشته باشد.

**jafar007** · 01-19-2013, 01:14

نتیجه
اگر خداوند در تعریف خود علیم است، وجود او نمیتواند جزوی از حقایق تشکیل دهنده جهان باشد و خدا نمیتواند وجود داشته باشد.
شبهات
شبهه نخست
ممکن است خداباور این نتیجه را انکار کند و بگوید از آنجا که خدا خود تنها خالق تمامی واقعیت ها و حقایق (البته به غیر از واقعیت خودش) است، میتواند t را بداند. اما ایراد این شببه سفسطه مصادره به مطلوب است که در آن بکار برده شده است. مسئله اینجا است که چیزی که بنا بر تعریفش متناقض است بنا بر اصل تناقض قابل دانستن نیست و خالقی ندارد.
شبهه دوم
ممکن است خداباور بگوید عدم امکانپذیری قرار دادن مفهوم "تمام حقایق" در تعریف مجموعه به این معنی نیست که تمام حقایق وجود ندارد. در پاسخ میتوان گفت با فرض وجود تمام حقایق هیچ دلیلی وجود ندارد که نتوان آنرا بصورت مجموعه ای بینهایت تعریف کرد، برای اینکه جقایق مجموعه ای شوند تنها کافی است که از یکدیگر قابل تمیز دادن باشند، و اگر اجماع تمام حقایق ممکن بود، مجموعه تمام حقایق نیز ممکن میبود، اما از آنجا که وجود مجموعه تمام حقایق غیر ممکن است (بنابر اثباتی که صورت گرفت)، میتوان نتیجه گرفت که "تمام حقایق" نیز غیر قابل تصور است، لذا نمیتوان تصور کرد که علیمی وجود داشته باشد، یا بعبارت دیگر وجود علیم به دلیل عدم امکان اتحاد تمامی حقایق محال است.

**jafar007** · 01-19-2013, 01:14

توضیحات و منابع:
1- جورج کانتور یک ریاضی دان آلمانی با اصلیت روسی است که مبتکر نظریه مجموعه (Set Theory) به شمار میرود.

01-19-2013, 01:09	#1
jafar007 کاربر فعال تاریخ عضویت: Jan 2013 نوشته ها: 291 تشکر: 0 تشکر شده 9 بار در 9 ارسال	محال بودن دانستن مجموعه تمام حقایق ایده این برهان نخستین بار توسط پاتریک گریم در نوشتار زیر مطرح شده است. Patrick Grim, "There Is No Set of All Truths," Analysis,44,1984,pp.206-208 __________________ البته ما به کسی در این دنیا درس نمی دهیم، اما خودمان هم حاضر نیستیم از شما "چشم آبی ها"، تنها بخاطر این که چشمهای خود ما "سیاه" است، درس بگیریم! م.پ/پاسخ به تاریخ/۱۳۵۹

01-19-2013, 01:11	#2
jafar007 کاربر فعال تاریخ عضویت: Jan 2013 نوشته ها: 291 تشکر: 0 تشکر شده 9 بار در 9 ارسال	پیشگفتار این استدلال یکی از استدلالهای منطقی علیه وجود خدا هست که توسط پاتریک گریم برای نخستین بار ارائه شده است و به استدلال گریم در کتب فلسفه دین شهرت یافته است، روش کار اینگونه برهان ها وجود تناقض میان دو ویژگی از ویژگی ها در تعریف فلسفی وجود خدا و با استناد به اصل تناقض نشان داده میشود که خداوند نمیتواند وجود داشته باشد. برخی از برهانهای منطقی اثبات عدم وجود خدا همچون همین برهان تناقض را میان دو ویژگی نشان نمیدهند بلکه نشان میدهند یکی از ویژگیهای خدا از لحاظ منطقی متناقض است و وجود داشتن موجودی با این ویژگیها محال است. این برهان نیز نشان میدهد به دلیل اینکه دانستن تمامی حقایق از لحاظ منطقی محال است، هیچکس نمیتواند این حقایق را بداند، در نتیجه موجود علیمی نمیتواند وجود داشته باشد، پس خدا وجود ندارد. درک این برهان به دانشی ابتدائی از تئوری مجموعه ها دارد، باقی مطالب در ارتباط با مجموعه ها که در این برهان از آنها استفاده میشود در هنگام بحث برهان بطور مختصر توضیح داده خواهند شد. __________________ البته ما به کسی در این دنیا درس نمی دهیم، اما خودمان هم حاضر نیستیم از شما "چشم آبی ها"، تنها بخاطر این که چشمهای خود ما "سیاه" است، درس بگیریم! م.پ/پاسخ به تاریخ/۱۳۵۹

01-19-2013, 01:12	#3
jafar007 کاربر فعال تاریخ عضویت: Jan 2013 نوشته ها: 291 تشکر: 0 تشکر شده 9 بار در 9 ارسال	<b> فرمولاسیون 1- خداوند یک موجود علیم است. بنابر تعریف خدا. 2- یک موجود علیم باید تمامی اجزاء مجموعه تمام حقایق هستی را بداند. بنابر تعریف خدا و تعریف مجموعه حقایق هستی. 3- دانستن تمامی اجزاء مجموعه تمام حقایق هستی محال است. بنابر قضیه کانتور. 4- یک وجود علیم نمیتواند وجود داشته باشد. نتیجه از 3. 5- خدا نمیتواند وجود داشته باشد. نتیجه از 4 و 1. 6- خدا وجود ندارد. نتیجه از 5. </b> __________________ البته ما به کسی در این دنیا درس نمی دهیم، اما خودمان هم حاضر نیستیم از شما "چشم آبی ها"، تنها بخاطر این که چشمهای خود ما "سیاه" است، درس بگیریم! م.پ/پاسخ به تاریخ/۱۳۵۹

01-19-2013, 01:12	#4
jafar007 کاربر فعال تاریخ عضویت: Jan 2013 نوشته ها: 291 تشکر: 0 تشکر شده 9 بار در 9 ارسال	<b> تعریف مجموعه یک مجموعه از اجتماع نهاد های قابل تمایز از یکدیگر پدید می آید. مثلاً A را در نظر بگیرید که اجزاء آن نام چهار گلها میباشد. A = { "نیلوفر", "مریم", رز"", یاسمن"} مجموعه بینهایت یک مجموعه میتواند دارای نهایت یا بی نهایت باشد. بعنوان مثال مجموعه اعداد فرد یک مجموعه بی نهایت است. O = {...,-3,-1,1,3,...} بنابر تعریف جورج کانتور (1)، مجموعه ای مجموعه بی نهایت است که الف - مجموعه ای تهی نباشد. ب- رابطه ای یک به یک میان آن مجموعه و زیر مجموعه های مناسب آن وجود داشته باشد. مجموعه مناسب تعریف مجموعه مناسب (Proper Subset) - یک مجموعه مانند S2 تنها درصورتی زیر مجموعه مناسب مجموعه دیگری مانند S1 است. که هر عضو S2 در S1 باشد و S1 حداقل یک عضو داشته باشد که در S2 نباشد. </b> __________________ البته ما به کسی در این دنیا درس نمی دهیم، اما خودمان هم حاضر نیستیم از شما "چشم آبی ها"، تنها بخاطر این که چشمهای خود ما "سیاه" است، درس بگیریم! م.پ/پاسخ به تاریخ/۱۳۵۹

01-19-2013, 01:12	#5
jafar007 کاربر فعال تاریخ عضویت: Jan 2013 نوشته ها: 291 تشکر: 0 تشکر شده 9 بار در 9 ارسال	قضيه مجموعه توانی كانتور (2) *براي هر مجموعه X، قوت مجموعه تواني* X بزرگتر از قوت مجموعه X است. قضيه كانتور به ما مي گويد هر قدر هم كه مجموعه اي بزرگ باشد، باز هم مي توانيم مجموعه اي بزرگتر از آن را در نظر بگيريم. اين در مورد مجموعه هاي متناهي بديهي است، اما اگر مجموعه تحت بررسي نامتناهي باشد، چندان بديهي نيست. دو مجموعه (و بويژه، دو مجموعه نامتناهي) را هم اندازه يعني داراي كارديناليته يكسان گوييم هرگاه بتوانيم تناظر يك به يكي ميان اعضاي دو مجموعه برقرار سازيم و در هيچ طرف هيچ عضوي باقي نماند. اگر بتوانيم نشان دهيم كه ميان دو مجموعه نامتناهي، هرگز نمي توان چنين “تناظر يك به يكي” برقرار ساخت، آن گاه مي دانيم يكي از مجموعه ها بايد به طور كاردينالي بزرگتر از مجموعه ديگر باشد. كانتور براي اثبات اين قضيه از “برهان قطري سازي” خود كه اكنون مشهور است، استفاده كرد كه اثبات از طريق برهان خلف است. يعني فرض مي كنيم بزرگترين مجموعه نامتناهي وجود دارد و سپس نشان مي دهيم كه بايد يك مجموعه بازهم بزرگتر باشد. بنابراين، فرض كنيد X مجموعه اي نامتناهي است و آن را چنين نمايش مي دهيم: X = {a, b, c, d, e, …} براي نشان دادن اعضاي مجموعه ها از حروف استفاده مي كنيم و فرض مي كنيم كه تعدادي نامتناهي از اين اعضا وجود دارد. به ويژه فرض مي كنيم كه X بزرگترين اندازه مجموعه اي است كه وجود دارد- يعني هيچ مجموعه ديگري نمي تواند “نامتناهي بزرگتري” باشد. اكنون يادآوري مي كنيم كه هميشه مي توانيم مجموعه تواني X را كه با P(X) مايش داده مي شود با تشكيل مجموعه تمام زيرمجموعه هاي X تشكيل دهيم. P(X) = { {a}, {a,b}, {b,c,e,}, {a,c}, {e},…}** مشاهده مي كنيم كه P(X) خود يك مجموعه است. و در خاطر نگه مي داريم كه براساس فرض نمي تواند بزرگتر از X باشد، زيرا ما فرض كرديم كه X به بزرگترين اندازه اي است كه يك مجموعه مي تواند باشد. اما بديهي است كه نمي تواند كوچكتر از X باشد، زيرا حاوي تمام زيرمجموعه هاي تكتايي X است، يعني به ازاي هر عضو a, b, c,… در X، داراي عضوي به شكل {a}، {b}، {c} و مانند آن است. در نتيجه اندازه اين دو مجموعه بايد مساوي باشد. يعني، بايد بتوانيم تناظر يك به يكي ميان اعضاي X و اعضاي P(X) برقرار كنيم به نحوي كه در هيچ طرف عضوي باقي نماند. چنين تناظري چيزي شبيه شكل زير است. a <--> { c,d } b <--> { a } X c <--> { a,b,c,d } P(X) d <--> { b,e } e <--> { a,c,e } ........ توجه كنيد كه برخي اعضاي X با زيرمجموعه هايي متناظر شده اند كه حاوي خود آن ها هستند. مثلاً در اين جا، عضو e با زيرمجموعه {a,c,e} متناظر شده است. ديگر اعضا با زيرمجموعه هايي متناظر شده اند كه حاوي آن ها نيستند. مثلاً در اين جا عضو a با زيرمجموعه {c,d} متناظر شده است. مجموعه تمام اعضاي X را كه با زيرمجموعه هاي حاوي خود متناظر نشده اند در نظر بگيريد. اين مجموعه كه آن را مثلاً F مي ناميم، خود زيرمجموعه اي از X است، بنابراين بايد جايي در تناظر فوق پديدار شود. اما آن عضو X كه با F متناظر است چه مي تواند باشد؟ نمي تواند عضوي از F باشد، زيرا F بويژه به نحوي ساخته شده است كه فقط حاوي آن اعضاي X باشد كه با مجموعه هايي كه حاوي آن ها هستند متناظر نباشند. از سوي ديگر، اگر عضو X كه متناظر با F است در Fقرار نداشته باشد … آن گاه خوب بايد در F قرار داشته باشد، بازهم بنابر تعريف F! اين يك تناقض است و وجود اين تناقض نشان مي دهد كه هيچ عضو X را نمي توان با اين زيرمجموعه متناظر كرد. تناظر ما نمي تواند كامل باشد. و چون نمي توانيم ميان X و P(X) تناظر يك به يك برقرار سازيم و چون همان طور كه ديديم، P(X) نمي تواند كوچكتر از X باشد، تنها نتيجه ممكن اين است كه P(X)بزرگتر از X است. اين قضيه كانتور را كامل مي كند. لحظه اي تأمل مي كنيم تا معناي قضيه كانتور را دريابيم. اين قضيه نشان مي دهد كه براي هر مجموعه اي، مجموعه ديگري وجود دارد كه به معناي خاص نوع بزرگتري از نامتناهي بودن، بزرگتر است. بنابراين، “بزرگترين نامتناهي” هم نمي تواند وجود داشته باشد! بنابراين، انواع نامتناهي، “نامتناهي” هستند! __________________ البته ما به کسی در این دنیا درس نمی دهیم، اما خودمان هم حاضر نیستیم از شما "چشم آبی ها"، تنها بخاطر این که چشمهای خود ما "سیاه" است، درس بگیریم! م.پ/پاسخ به تاریخ/۱۳۵۹

01-19-2013, 01:14	#6
jafar007 کاربر فعال تاریخ عضویت: Jan 2013 نوشته ها: 291 تشکر: 0 تشکر شده 9 بار در 9 ارسال	بحث بعد از این تعاریف ابتدائی به شرح برهان خواهیم پرداخت. یک دسته از حقایق حقایق گزاره ای یا قضیه ای هستند، که میتوان آنها را بر اساس اصل دوالانسی منطق صحیح یا غلط دانست. بعنوان مثال هرکدام از روابط ریاضی موجود بین اعداد حقیقتی هستند. یعنی 4=2+2 یک حقیقت است و همچنین 0=2-2 یک حقیقت دیگر. حال از آنجا که این حقایق قابل تمیز داده شدن از یکدیگر هستند میتوان اجتماع آنها را بصورت یک مجموعه تصور کرد. بعنوان مثال مجموعه A را در نظر بگیرید که اعضای آن دو حقیقت یاد شده هستند. A = { "2+2=4", "2-2=0" } پرواضح است که به دلیل بی نهایت بودن مجموعه اعداد، بی نهایت نیز رابطه حقیقی از نوع یاد شده در میان آنها وجود دارد، یعنی میتوان مجموعه ای از حقایق ریاضی را تصور کرد که تمامی این حقایق را در خود گنجانیده است، نام این مجموعه را T بگذاریم. T = { T1, T2, T3, …} هرکدام از Ti های موجود در این مجموعه خود یک حقیقت هستند. از آنجا که بی نهایت عدد در مجموعه اعداد وجود دارد مجموعه T نیز بنابر تعریف داده شده از یک مجموعه بینهایت، مجموعه ای بینهایت است. حال یکی از ویژگیهای خدا در تعریف آن علیم بودن خدا است، به این معنی که خدا بر تمامی حقایق آگاه است. به دلیل اینکه حقایق از یکدیگر قابل تمایز هستند، اجتماع آنها را میتوان بصورت مجموعه ای از حقایق نشان داد. آشکار است که تمامی حقایق موجود در هستی باید مجموعه حقایق ریاضی را نیز در خود بگنجاند و از آنجا که آن مجموعه بینهایت است، مجموعه تمامی حقایق موجود در هستی نیز مجموعه ای بینهایت است. نتیجه منطقی آنکه خداوند به دلیل علیم بودن خود باید لزوماً مجموعه تمامی حقایق هستی را که آنرا نیز T فرض میکنیم بداند و در صورتی که حتی یکی از اعضای این مجموعه را نیز نداند علیم نیست. مرحله بعدی در این استدلال این است که نشان دهیم دانستن مجموعه T محال است. زیرا مجموعه T بنا بر قضیه کانتور قابل تصور نیست. به یاد داشته باشید که فرض کردیم مجموعه T تمامی حقایق هستی را در بر دارد و مجموعه ای بینهایت است. آشکار است که دانستن اعضای این مجموعه برای انسان میسر نیست زیرا شما هرچقدر هم که از اجزاء این مجموعه را بدانید باز هم اعضای دیگری خواهند بود که شما آنها را هنوز نمیدانید. اما ممکن است گفته شود که دانستن اعضای این مجموعه برای خدا محال نیست زیرا خدا خود نیز بینهایت است و میتواند این مجموعه را درک کند. البته این پاسخ، قانع کننده نیست زیرا بی نهایت بودن خدا به خودی خود به معنی این نیست که او بتواند اعضای این مجموعه را بداند. اما استدلال ما این نیست، همانطور که گفته شد مسئله اینجا است که بنابر قضیه کانتور که از راه برهان خلف اثبات میشود که چنین مجموعه نمیتواند وجود داشته باشد. برای هر مجموعه میتوان مجموعه ای توانی را نیز تصور کرد، نام مجموعه توانی که برای T در نظر خواهیم گرفت را PT بگذاریم. حال اجزاء PT بصورت زیر خواهند بود. PT = { { Ø } { T1 } { T2 } { T3 } . . . { T1, T2 } { T1, T2, T3 } . . . } آشکار است که متناظر با هر عضو مجموعه PT حداقل یک حقیقت وجود دارد. بعنوان مثال T1 یا عضوی از هریک از سایر اعضای PT خواهد بود یا نخواهد بود. بنابر این تنها در مورد عضو دوم حقایق زیر وجود دارد. T1 یک عضو از مجموعه { Ø } نیست. T1 یک عضو از مجموعه { T1 } هست. T1 یک عضو از مجموعه { T2 } نیست. T1 یک عضو از مجموعه { T1, T2 } هست. بنابر این وقتی مجموعه PT را در نظر میگیریم، حداقل یک حقیقت در تناظر با هریک از اعضای این مجموعه وجود خواهد داشت. بنابر این همانگونه که قضیه کانتور نشان میدهد، مجموعه توانی "تمامی مجموعه ها" از مجموعه "تمامی مجموعه ها" بزرگ تر است. بنابر این حقایقی بیش از آنچه در T وجود داشته است وجود دارند، و این یک تناقض است چون T را مجموعه تمام حقایق هستی که هیچ حقیقتی خارج از آن وجود ندارد فرض کرده ایم، لذا با استفاده از برهان خلف نشان داده ایم که چنین مجموعه ای اساسا نمیتواند وجود داشته باشد. نتیجه آنکه مجموعه ای با فرنام "مجموعه تمام حقایق هستی" وجود ندارد و چون این مجموعه وجود ندارد دانستن آن از دیدگاه معرفت شناسی (Epistemologically) محال است، و چون یک موجود علیم باید قطعاً تمامی حقایق هستی را بداند که بتوان علیم اش نامید، هیچ موجود علیمی نمیتواند وجود داشته باشد و چون هیچ موجود علیمی نمیتواند وجود داشته باشد خدا نیز نمیتواند وجود داشته باشد. __________________ البته ما به کسی در این دنیا درس نمی دهیم، اما خودمان هم حاضر نیستیم از شما "چشم آبی ها"، تنها بخاطر این که چشمهای خود ما "سیاه" است، درس بگیریم! م.پ/پاسخ به تاریخ/۱۳۵۹

موضوعات مشابه
موضوع	نویسنده موضوع	انجمن	پاسخ ها	آخرين نوشته
تمام جهت ها تمام فرکانس ها تمام ساعت ال ان بی ها تمام فرکانس های قوی در این اموزش	Admin	نصب و تنظیم جهت های قابل دریافت در ایران	4	04-16-2013 15:21
وضو،غسل و تيمم	Federal.Police	اسلام	0	03-06-2013 13:37